¡...BIENVENIDOS...!
DATOS AGRUPADOS:
LA MEDIA:
La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:
Ejemplo:
Una muestra de diez cines en una gran área metropolitana dio el número total de películas exhibidas la semana anterior.
Calcule la media de las películas proyectadas.
Películas
exhibidas Frecuencia, Punto medio de clase X (f)(X)
f
1-2 1 1.5 1.5
3-4 2 3.5 7.5
5-6 3 5.5 16.5
7-8 1 7.5 7.5
9-10 3 9.5 28.5
total 10 61
61/10 = 6.1 películas
MEDIANA:
La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:
Mediana = L + [(n/2 - FA)/f] (i)
donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana.
Para determinar la clase de la mediana de datos agrupados:
Elabore una distribución de frecuencias acumulada.
Divida el número total de datos entre 2.
Determine qué clase contiene este valor.
Por ejemplo, si n=50, 50/2 = 25, después determine qué clase contiene el 25° valor (la clase de la mediana).
Películas Frecuencia Frecuencia
exhibidas acumulada
1-2 1 1
3-4 2 3
5-6 3 6
7-8 1 7
9-10 3 10
La clase de la mediana es 5 - 6, ya que contiene el 5° valor (n/2 = 5)
De la tabla, L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, FA = 3.
Así, mediana = 5 + [((10/2) - 4)/3](2) = 6.33
MODA:
La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor.
Las modas en el ejemplo de la Mediana de datos agrupados son 5.5 y 9.5. Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal, como en dicho ejemplo
DATOS NO AGRUPADOS:
Para datos no agrupados, la amplitud es la diferencia entre los valores mayor y menor en un conjunto de datos. AMPLITUD = valor mayor - valor menor
Ejemplo: una muestra de cinco graduados de contaduría indicó los siguientes salarios iniciales: $22 000, $28 000, $31 000, $23 000, $24 000. La amplitud es $31 000 - $22 000 = $9 000.
3 3-4=-1
4 4-4= 0
4 4-4= 0
4 4-4= 0
5 5-4=1
6 6-4=2
7 7-4=3
DESVIACIÓN ESTANDAR: Es un dato que representa la variabilidad existente en un conjunto de datos, ya que por ejemplo dos conjuntos de datos pueden presentar la misma media aritmética, pero poseer distinta variabilidad, por eso este estadígrafo nos permite saber acerca de la variabilidad o dispersión de los datos. Matemáticamente se define como "la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las desviaciones medias de cada valor de la variable con respecto de la media aritmética"
FORMULA:
Desviación Estándar: s = RAIZ (Suma de las desviaciones cuadráticas / (n - 1) )
Desviación = valor de cada medición - valor de la media.
n = número de observaciones de la muestra. (Nota: el tamaño de la Población se indica con N mayúscula)
Ejemplo: Calcule la Desviación Estándar de la siguiente muestra:
X : 7.2, 5.8, 6.6, 5.9, 6.4, 7.1 n = 6 datos ( tamaño de la muestra)
X BARRA = 6.5 ( ver el ejemplo del cálculo de la Media Simple en la pregunta 2.8)
Suma de la Desviaciones cuadráticas:
= (7.2 - 6.5)2 + (5.8 - 6.5)2 + (6.6 - 6.5)2 + (5.9 - 6.5)2 + (6.4 - 6.5)2 + (7.1 - 6.5)2= 1.72
Desviación Estándar s = Raíz ( 1.72 / 5 ) = 0.59
LA MEDIA:
La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:
Una muestra de diez cines en una gran área metropolitana dio el número total de películas exhibidas la semana anterior.
Calcule la media de las películas proyectadas.
Películas
exhibidas Frecuencia, Punto medio de clase X (f)(X)
f
1-2 1 1.5 1.5
3-4 2 3.5 7.5
5-6 3 5.5 16.5
7-8 1 7.5 7.5
9-10 3 9.5 28.5
total 10 61
61/10 = 6.1 películas
MEDIANA:
La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:
Mediana = L + [(n/2 - FA)/f] (i)
donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana.
Para determinar la clase de la mediana de datos agrupados:
Elabore una distribución de frecuencias acumulada.
Divida el número total de datos entre 2.
Determine qué clase contiene este valor.
Por ejemplo, si n=50, 50/2 = 25, después determine qué clase contiene el 25° valor (la clase de la mediana).
Películas Frecuencia Frecuencia
exhibidas acumulada
1-2 1 1
3-4 2 3
5-6 3 6
7-8 1 7
9-10 3 10
La clase de la mediana es 5 - 6, ya que contiene el 5° valor (n/2 = 5)
De la tabla, L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, FA = 3.
Así, mediana = 5 + [((10/2) - 4)/3](2) = 6.33
MODA:
La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor.
Las modas en el ejemplo de la Mediana de datos agrupados son 5.5 y 9.5. Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal, como en dicho ejemplo
DATOS NO AGRUPADOS:
DESVIACION MEDIA: Corresponde a la diferencia numérica entre una medida individual o número y la media aritmética de una serie completa de tales medidas o números. Por ejemplo, si la media de alturas de todos los alumnos de un curso es 1,51 m y uno de ellos mide 1,63m, la desviación media de su altura con respecto a la media es de +0.12 metros.
SIGUEN LOS SIGUIENTES PASOS:
1.-Se calcula lka media.
2.-Se restan las medias de cada dato con respecto a la media,
3.-Se divide la sumatoria de los valores obsolutos entre el total de datos
Ejemplo:
haya e interpretar la desviaciòn de la media de los siguientes datos.
1,2,3,4,4,4,5,6,7
paso 1.-construir una tabla con 2 columnas, la columna 1 los datos (x) y en la 2 el dato-media la eje.
datos x-x(x media)
1 1-4=-3
2 2-4=-2
3 3-4=-1
4 4-4= 0
4 4-4= 0
4 4-4= 0
5 5-4=1
6 6-4=2
7 7-4=3
=12
x(rayita arriba de x)=36/9=4
se sua formula d.m y el resultado da "1.33"
interpretaciòn::
Los datos de la variable x se desvian 1.33 unidades en promedio con respecto a su media.
DESVIACIÓN ESTANDAR: Es un dato que representa la variabilidad existente en un conjunto de datos, ya que por ejemplo dos conjuntos de datos pueden presentar la misma media aritmética, pero poseer distinta variabilidad, por eso este estadígrafo nos permite saber acerca de la variabilidad o dispersión de los datos. Matemáticamente se define como "la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las desviaciones medias de cada valor de la variable con respecto de la media aritmética"
FORMULA:
Desviación Estándar: s = RAIZ (Suma de las desviaciones cuadráticas / (n - 1) )
Desviación = valor de cada medición - valor de la media.
n = número de observaciones de la muestra. (Nota: el tamaño de la Población se indica con N mayúscula)
Ejemplo: Calcule la Desviación Estándar de la siguiente muestra:
X : 7.2, 5.8, 6.6, 5.9, 6.4, 7.1 n = 6 datos ( tamaño de la muestra)
X BARRA = 6.5 ( ver el ejemplo del cálculo de la Media Simple en la pregunta 2.8)
Suma de la Desviaciones cuadráticas:
= (7.2 - 6.5)2 + (5.8 - 6.5)2 + (6.6 - 6.5)2 + (5.9 - 6.5)2 + (6.4 - 6.5)2 + (7.1 - 6.5)2= 1.72
Desviación Estándar s = Raíz ( 1.72 / 5 ) = 0.59
RELACION ENTRE LOS VALORES NUMERICOS ENTRE LA MEDIANA, MEDIA, MODA SEGUN LA FORMA DE DISTRIBUCION (GRAFICAS)
Media aritmética
Se define media aritmética de una serie de valores como el resultado producido al sumar todos ellos y dividir la suma por el número total de valores. La media aritmética se expresada como .
Dada una variable x que toma los valores x1, x2, ..., xn, con frecuencias absolutas simbolizadas por f1, f2, ..., fn, la media aritmética de todos estos valores vendrá dada por:
Mediana
La media aritmética no siempre es representativa de una serie estadística. Para complementarla, se utiliza un valor numérico conocido como mediana o valor central.
Dado un conjunto de valores ordenados, su mediana se define como un valor numérico tal que se encuentra en el centro de la serie, con igual número de valores superiores a él que inferiores. Normalmente, la mediana se expresa como Me.
La mediana es única para cada grupo de valores. Cuando el número de valores ordenados (de mayor a menor, o de menor a mayor) de la serie es impar, la mediana corresponderá al valor que ocupe la posición (n + 1)/2 de la serie. Si el número de valores es par, ninguno de ellos ocupará la posición central. Entonces, se tomará como mediana la media aritmética entre los dos valores centrales.
Moda
En una serie de valores a los que se asocia una frecuencia, se define moda como el valor de la variable que posee una frecuencia mayor que los restantes. La moda se simboliza normalmente por Mo.
Un grupo de valores puede tener varias modas. Una serie de valores con sólo una moda se denomina unimodal; si tiene dos modas, es bimodal, y así sucesivamente.
Se define media aritmética de una serie de valores como el resultado producido al sumar todos ellos y dividir la suma por el número total de valores. La media aritmética se expresada como .
Dada una variable x que toma los valores x1, x2, ..., xn, con frecuencias absolutas simbolizadas por f1, f2, ..., fn, la media aritmética de todos estos valores vendrá dada por:
Mediana
La media aritmética no siempre es representativa de una serie estadística. Para complementarla, se utiliza un valor numérico conocido como mediana o valor central.
Dado un conjunto de valores ordenados, su mediana se define como un valor numérico tal que se encuentra en el centro de la serie, con igual número de valores superiores a él que inferiores. Normalmente, la mediana se expresa como Me.
La mediana es única para cada grupo de valores. Cuando el número de valores ordenados (de mayor a menor, o de menor a mayor) de la serie es impar, la mediana corresponderá al valor que ocupe la posición (n + 1)/2 de la serie. Si el número de valores es par, ninguno de ellos ocupará la posición central. Entonces, se tomará como mediana la media aritmética entre los dos valores centrales.
Moda
En una serie de valores a los que se asocia una frecuencia, se define moda como el valor de la variable que posee una frecuencia mayor que los restantes. La moda se simboliza normalmente por Mo.
Un grupo de valores puede tener varias modas. Una serie de valores con sólo una moda se denomina unimodal; si tiene dos modas, es bimodal, y así sucesivamente.
Ahora nos ocuparemos exclusivamente de las variables cuantitativas, puesto que con los atributos no se pueden realizar operaciones aritméticas. Como hemos estudiado, las variables estadísticas cuantitativas se dividen o clasifican en discretas o continuas, por lo que necesitaremos precisar cómo se calculan dichas medidas en cada caso.
Las medidas estadísticas pretenden "resumir" la información de la "muestra" para poder tener así un mejor conocimiento de la población.
Las medidas de tendencia central corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos. (Ellas permiten analizar los datos en torno a un valor central). Entre éstas están la media aritmética, la moda y la mediana.
a) Media aritmética _
( X )
Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.
X = suma de todos los valores = x1 + x2 + x3 + x4 + ......
número total de datos n
Ejemplo 1:
En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3
n = 6 (número total de datos )
X = 4 + 7 + 7 + 2 + 5 + 3 = 28 = 4,8
6 6
La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio.
Ejemplo 2:
Cuando se tienen muchos datos es más conveniente agruparlos en una tabla de frecuencias y luego calcular la media aritmética. El siguiente cuadro lo ilustra.
Largo (en m)
Frecuencia absoluta
Largo por Frecuencia absoluta
3
10
5 . 10 = 50
6
15
6 . 15 = 90
7
20
7 . 20 = 140
8
12
8 . 12 = 96
9
6
9 . 6 = 54
Frecuencia total = 63
430
X = 430 = 6,825
63
Se debe recordar que la frecuencia absoluta indica cuántas veces se repite cada valor, por lo tanto, la tabla es una manera más corta de anotar los datos (si la frecuencia absoluta es 10, significa que el valor a que corresponde se repite 10 veces).
b) Moda (Mo)
Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos, o sea, cual se repite más.
Ejemplo 1:
Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.
5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3
La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)
Ejemplo 2:
20, 12, 14, 23, 78, 56, 96
En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.
c) Mediana (Med)
Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.
Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:
- Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos.
- Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).
Ejemplo 1:
Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2
Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene:
1, 2, 4, 5 , 8, 9, 10
El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.
Ejemplo 2:
El siguiente conjunto de datos está ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med será el promedio de los valores centrales.
Las medidas estadísticas pretenden "resumir" la información de la "muestra" para poder tener así un mejor conocimiento de la población.
Las medidas de tendencia central corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos. (Ellas permiten analizar los datos en torno a un valor central). Entre éstas están la media aritmética, la moda y la mediana.
a) Media aritmética _
( X )
Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.
X = suma de todos los valores = x1 + x2 + x3 + x4 + ......
número total de datos n
Ejemplo 1:
En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3
n = 6 (número total de datos )
X = 4 + 7 + 7 + 2 + 5 + 3 = 28 = 4,8
6 6
La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio.
Ejemplo 2:
Cuando se tienen muchos datos es más conveniente agruparlos en una tabla de frecuencias y luego calcular la media aritmética. El siguiente cuadro lo ilustra.
Largo (en m)
Frecuencia absoluta
Largo por Frecuencia absoluta
3
10
5 . 10 = 50
6
15
6 . 15 = 90
7
20
7 . 20 = 140
8
12
8 . 12 = 96
9
6
9 . 6 = 54
Frecuencia total = 63
430
X = 430 = 6,825
63
Se debe recordar que la frecuencia absoluta indica cuántas veces se repite cada valor, por lo tanto, la tabla es una manera más corta de anotar los datos (si la frecuencia absoluta es 10, significa que el valor a que corresponde se repite 10 veces).
b) Moda (Mo)
Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos, o sea, cual se repite más.
Ejemplo 1:
Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.
5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3
La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)
Ejemplo 2:
20, 12, 14, 23, 78, 56, 96
En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.
c) Mediana (Med)
Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.
Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:
- Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos.
- Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).
Ejemplo 1:
Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2
Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene:
1, 2, 4, 5 , 8, 9, 10
El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.
Ejemplo 2:
El siguiente conjunto de datos está ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med será el promedio de los valores centrales.
Todo grafico debe llevar titulo y unidad de medida.
El grafico de barras es el mejor para reprecentar comparaciones;
se utilizan rectangulos y cuenta con:
1.-La linea de base: Es la linea horizontal y sirve para comparar las dimenciones.
2.-Ancho de barra: Tiene que ser la misma para todos los datos
3.-Separacion entre barras: No debe ser mayor al espacio inical y final del grafico y no debe ser menor que la mitad de la barra y mayor que la barra.
EJEMPLOS DE HISTOGRAMA Y POLIGONOS.
En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.
Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.
Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.
Figura 3. Ejemplo de un histograma correspondiente a los datos de la Tabla I.
Figura 4. Polígono de frecuencias para los datos de la Tabla I.
El grafico de barras es el mejor para reprecentar comparaciones;
se utilizan rectangulos y cuenta con:
1.-La linea de base: Es la linea horizontal y sirve para comparar las dimenciones.
2.-Ancho de barra: Tiene que ser la misma para todos los datos
3.-Separacion entre barras: No debe ser mayor al espacio inical y final del grafico y no debe ser menor que la mitad de la barra y mayor que la barra.
GRAFICOS CIRCULAR.
1.- SE SUMAN TODAS LA FRECUENCIAS AN CASO DE QUE NO APARESCAN EN LA TABLA.
2.-SE EXPRESAN TODAS LAS FRECUENCIA EN PORCENTAJES.
3.-SE MULTIPLICAN LAS FRECUENCIAS PORCENTUALES POR EL FACTOR 3.6, LA SUMA DE ESTAS MEDIDAS ANGUALRES DEVERA SER DE 360.
4.-SE TRAZA UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO ALBITRARIO
5.-SE TRAZA UN RADIO VERTICAL Y CON EL USO DEL TRANSPORTADOR SWE TRAZAN LOS GRADOS DEL MAYOR A MENOR.
6.-EN CADA SECTOR SE ESCRIBE EL PORCENTAJE Y SE LE ANEXA ENCABEZADO Y PIE SIN OLVIDAR EL CUADRO DE SIMBOLOGIA.
Tabla I. Distribución de frecuencias
EJEMPLOS DE HISTOGRAMA Y POLIGONOS.
En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.
Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.
Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.
Figura 3. Ejemplo de un histograma correspondiente a los datos de la Tabla I.
- Polígono de frecuencias
- Es un gráfico de líneas que se usa para presentar las frecuencias absolutas de los valores de una distribución en el cual la altura del punto asociado a un valor de las variables es proporcional a la frecuencia de dicho valor.
Figura 4. Polígono de frecuencias para los datos de la Tabla I.
TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIA Y SUS PARTES.
Es una tabla de resumen en la que los datos se disponen en agrupamientos o categorías convenientemente establecidas de clases ordenadas numéricamente.
EJEMPLO:
Tipos de variables:
Los tipos de variables fundamentales, por lo menos para este tema, serán los siguientes:
Variables Cuantitativas o Cardinales: susceptibles de medición cuantitativa; o sea son las que se describen por medio de números y las que a su vez comprenden:
Variable Cuantitativa Discretas: son aquellas cuyo conjunto de valores es a lo sumo numerable. Sus valores pueden representarse siempre por X1, X2, … , Xn.; y sólo se pueden asociar a un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza no admiten un fraccionamiento de la unidad
Ejemplos:
Número de hijos en el hogar
.Páginas de un libro
Variable Cuantitativa Continua: son aquellas que pueden tomar todos los valores de un intervalo de números reales, o sea que no se pueden expresar mediante un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza admiten que entre dos valores cualesquiera la variable puede tomar cualquier valor intermedio.
Ejemplos:
variable temperatura en grados Celsius (escala de intervalos).
variable longitud en cm. (escala de razón).
variable peso.
variable tiempo
Variables Cualitativas (Atributos) o Ordinales: susceptibles de ordenación, pero no de medición cuantitativa, reflejan generalmente los atributos del fenómeno. Los atributos son aquellos caracteres que para su definición precisan de palabras, es decir, no le podemos asignar un número, y a su vez las podemos clasificar en:
Ordenables: aquellas que sugieren una ordenación, por ejemplo la graduación militar, el nivel de estudios, etc.
No Ordenables: aquellas que sólo admiten un ordenamiento alfabético, pero no establece orden por su naturaleza,, por ejemplo el color del cabello, sexo, estado civil, etc.
Nota: no obstante en muchos casos el tratamiento estadístico hace que a variables discretas las trabajemos como si fuesen continua y viceversa (por ejemplo la edad de las personas –variable continua- se trabaja en años cumplidos –variable discreta-. En otros casos las variables cualitativas (atributos) se trabajan como variables cuantitativas, por ejemplo en los concursos de belleza se recurre a un sistema de calificación por puntos.
Distribución de Frecuencia:
En estadística existe una relación con cantidades, números agrupados o no, los cuales poseen entre sí características similares. Existen investigaciones relacionadas con los precios de los productos de la dieta diaria, la estatura y el peso de un grupo de individuos, los salarios de los empleados, los grados de temperatura del medio ambiente, las calificaciones de los estudiantes, etc., que pueden adquirir diferentes valores gracias a una unidad apropiada, que recibe el nombre de variable. La representación numérica de las variables se denomina dato estadístico.
La distribución de frecuencia es una disposición tabular de datos estadísticos, ordenados ascendente o descendentemente, con la frecuencia (fi) de cada dato. Las distribuciones de frecuencias pueden ser para datos no agrupados y para datos agrupados o de intervalos de clase.
Distribución de frecuencia para datos no Agrupados:
Es aquella distribución que indica las frecuencias con que aparecen los datos estadísticos, desde el menor de ellos hasta el mayor de ese conjunto sin que se haya hecho ninguna modificación al tamaño de las unidades originales. En estas distribuciones cada dato mantiene su propia identidad después que la distribución de frecuencia se ha elaborado. En estas distribuciones los valores de cada variable han sido solamente reagrupados, siguiendo un orden lógico con sus respectivas frecuencias.
Distribución de frecuencia de clase o de datos Agrupados:
Es aquella distribución en la que la disposición tabular de los datos estadísticos se encuentran ordenados en clases y con la frecuencia de cada clase; es decir, los datos originales de varios valores adyacentes del conjunto se combinan para formar un intervalo de clase. No existen normas establecidas para determinar cuándo es apropiado utilizar datos agrupados o datos no agrupados; sin embargo, se sugiere que cuando el número total de datos (N) es igual o superior 50 y además el rango o recorrido de la serie de datos es mayor de 20, entonces, se utilizará la distribución de frecuencia para datos agrupados, también se utilizará este tipo de distribución cuando se requiera elaborar gráficos lineales como el histograma, el polígono de frecuencia o la ojiva.
La razón fundamental para utilizar la distribución de frecuencia de clases es proporcionar mejor comunicación acerca del patrón establecido en los datos y facilitar la manipulación de los mismos. Los datos se agrupan en clases con el fin de sintetizar, resumir, condensar o hacer que la información obtenida de una investigación sea manejable con mayor facilidad.
DATOS MUY IMPORTANTE.
Estos datos te ayudaran a comprender mejor y realizar un cuadro de frecuencias.
1.- DETERMINAR DATO MAYOR Y DATO MENOR.
EJEMPLO:
DATOS
1
2
3
4
5
DATO MAYOR - 5
DATO MENOR- 1
2.-RESTAR AMBOS VALORES PARA DETERMINAR RECORRIDO DE LA VARIABLE.
5 - 1 = 4
3.-AL RECORRIDO SUMARLE +1 PARA DATOS POTENCIALES.
4 + 1= 5
4.-EL POTENCIAL SE DIVIDE ENTRE EL NUMERO DE INTERVALO QUE CADA QUIEN DESIGNE PARA DARNOS ANCHURA.
5/1= 1
5.- AL DATO MENOR LE SUMO LA ANCHURA Y LE RESTO -1 PARA OBTENER EL LIMITE SUPERIOR.
1 + 1= 2- 1 = 1
6.-YA TODOS LOS INTERVALOS OBTENIDOS SE DETERMINA EL LIMITE SUPERIOR (+0.5) Y LIMITE INFERIOR (-0.5)
LI DATO LS
0.5 1 1.5
1.5 2 2.5
2.5 3 3.5
3.5 4 4.5
4.5 5 5.5
7.- ANCHURA REAL DE CADA INTERVALO IGUAL (DATO MAYOR - DATO MENOR)
8.- PUNTO MEDIO = ANCHURA / 2 + DATO MENOR.
9.- FRECUENCIA DE CADA INTERVALO.
Es una tabla de resumen en la que los datos se disponen en agrupamientos o categorías convenientemente establecidas de clases ordenadas numéricamente.
EJEMPLO:
SUS PARTES:
- CABEZA.-(Titulo, periodo, tiempo o espacio unidades de medida.)
- CUERPO.-(Toda la informacion como; datos, porcentajes, frecuencia.)
- PIE.-(Nota, aclaraciones, fuente de informacion y va en la parte inferior.)
__________________________________________________________________________
"DISTRBUCIÓN DE FRECUENCIA."
Nos sirve para transmitir los resultados de una investigacion de manera clara y consisa.
Existen distribuciones cuantitativas y cualitativas.
Tipos de variables:
Los tipos de variables fundamentales, por lo menos para este tema, serán los siguientes:
Variables Cuantitativas o Cardinales: susceptibles de medición cuantitativa; o sea son las que se describen por medio de números y las que a su vez comprenden:
Variable Cuantitativa Discretas: son aquellas cuyo conjunto de valores es a lo sumo numerable. Sus valores pueden representarse siempre por X1, X2, … , Xn.; y sólo se pueden asociar a un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza no admiten un fraccionamiento de la unidad
Ejemplos:
Número de hijos en el hogar
.Páginas de un libro
Variable Cuantitativa Continua: son aquellas que pueden tomar todos los valores de un intervalo de números reales, o sea que no se pueden expresar mediante un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza admiten que entre dos valores cualesquiera la variable puede tomar cualquier valor intermedio.
Ejemplos:
variable temperatura en grados Celsius (escala de intervalos).
variable longitud en cm. (escala de razón).
variable peso.
variable tiempo
Variables Cualitativas (Atributos) o Ordinales: susceptibles de ordenación, pero no de medición cuantitativa, reflejan generalmente los atributos del fenómeno. Los atributos son aquellos caracteres que para su definición precisan de palabras, es decir, no le podemos asignar un número, y a su vez las podemos clasificar en:
Ordenables: aquellas que sugieren una ordenación, por ejemplo la graduación militar, el nivel de estudios, etc.
No Ordenables: aquellas que sólo admiten un ordenamiento alfabético, pero no establece orden por su naturaleza,, por ejemplo el color del cabello, sexo, estado civil, etc.
Nota: no obstante en muchos casos el tratamiento estadístico hace que a variables discretas las trabajemos como si fuesen continua y viceversa (por ejemplo la edad de las personas –variable continua- se trabaja en años cumplidos –variable discreta-. En otros casos las variables cualitativas (atributos) se trabajan como variables cuantitativas, por ejemplo en los concursos de belleza se recurre a un sistema de calificación por puntos.
Distribución de Frecuencia:
En estadística existe una relación con cantidades, números agrupados o no, los cuales poseen entre sí características similares. Existen investigaciones relacionadas con los precios de los productos de la dieta diaria, la estatura y el peso de un grupo de individuos, los salarios de los empleados, los grados de temperatura del medio ambiente, las calificaciones de los estudiantes, etc., que pueden adquirir diferentes valores gracias a una unidad apropiada, que recibe el nombre de variable. La representación numérica de las variables se denomina dato estadístico.
La distribución de frecuencia es una disposición tabular de datos estadísticos, ordenados ascendente o descendentemente, con la frecuencia (fi) de cada dato. Las distribuciones de frecuencias pueden ser para datos no agrupados y para datos agrupados o de intervalos de clase.
Distribución de frecuencia para datos no Agrupados:
Es aquella distribución que indica las frecuencias con que aparecen los datos estadísticos, desde el menor de ellos hasta el mayor de ese conjunto sin que se haya hecho ninguna modificación al tamaño de las unidades originales. En estas distribuciones cada dato mantiene su propia identidad después que la distribución de frecuencia se ha elaborado. En estas distribuciones los valores de cada variable han sido solamente reagrupados, siguiendo un orden lógico con sus respectivas frecuencias.
Distribución de frecuencia de clase o de datos Agrupados:
Es aquella distribución en la que la disposición tabular de los datos estadísticos se encuentran ordenados en clases y con la frecuencia de cada clase; es decir, los datos originales de varios valores adyacentes del conjunto se combinan para formar un intervalo de clase. No existen normas establecidas para determinar cuándo es apropiado utilizar datos agrupados o datos no agrupados; sin embargo, se sugiere que cuando el número total de datos (N) es igual o superior 50 y además el rango o recorrido de la serie de datos es mayor de 20, entonces, se utilizará la distribución de frecuencia para datos agrupados, también se utilizará este tipo de distribución cuando se requiera elaborar gráficos lineales como el histograma, el polígono de frecuencia o la ojiva.
La razón fundamental para utilizar la distribución de frecuencia de clases es proporcionar mejor comunicación acerca del patrón establecido en los datos y facilitar la manipulación de los mismos. Los datos se agrupan en clases con el fin de sintetizar, resumir, condensar o hacer que la información obtenida de una investigación sea manejable con mayor facilidad.
DATOS MUY IMPORTANTE.
Estos datos te ayudaran a comprender mejor y realizar un cuadro de frecuencias.
1.- DETERMINAR DATO MAYOR Y DATO MENOR.
EJEMPLO:
DATOS
1
2
3
4
5
DATO MAYOR - 5
DATO MENOR- 1
2.-RESTAR AMBOS VALORES PARA DETERMINAR RECORRIDO DE LA VARIABLE.
5 - 1 = 4
3.-AL RECORRIDO SUMARLE +1 PARA DATOS POTENCIALES.
4 + 1= 5
4.-EL POTENCIAL SE DIVIDE ENTRE EL NUMERO DE INTERVALO QUE CADA QUIEN DESIGNE PARA DARNOS ANCHURA.
5/1= 1
5.- AL DATO MENOR LE SUMO LA ANCHURA Y LE RESTO -1 PARA OBTENER EL LIMITE SUPERIOR.
1 + 1= 2- 1 = 1
6.-YA TODOS LOS INTERVALOS OBTENIDOS SE DETERMINA EL LIMITE SUPERIOR (+0.5) Y LIMITE INFERIOR (-0.5)
LI DATO LS
0.5 1 1.5
1.5 2 2.5
2.5 3 3.5
3.5 4 4.5
4.5 5 5.5
7.- ANCHURA REAL DE CADA INTERVALO IGUAL (DATO MAYOR - DATO MENOR)
8.- PUNTO MEDIO = ANCHURA / 2 + DATO MENOR.
9.- FRECUENCIA DE CADA INTERVALO.
¿Cómo se analizan los datos?
Cuando se toman datos de una muestra, éstos son inicialmente compilados en bases de datos (tablas de frecuencias), para luego ser presentados en forma gráfica. Esto ayuda a visualizar e interpretar la variación de los datos.
La distribución de frecuencia es la representación estructurada, en forma de tabla, de la información que se ha recogido sobre la variable en estudio, como se muestra en la siguiente tabla, en donde X son los distintos valores que puede tomar la variable, n es el número de veces que se repite cada valor, y f es el porcentaje (en relación con el total) en el que se repite dicho valor.
Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas
(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada
X1 n1 n1 f1 = n1 / n f1
X2 n2 n1 + n2 f2 = n2 / n f1 + f2
... ... .. . ... ...
Xn-1 nn-1 n1 + n2 +..+ nn-1 fn-1 = nn-1 / n f1 + f2 +..+fn-1
Xn nn ∑ n fn = nn / n ∑ f
Por ejemplo, al medir la altura de los niños de una clase, se obtienen los siguientes resultados (en metros)
Alumno Estatura Alumno Estatura Alumno Estatura
Alumno 1 1,25 Alumno 11 1,23 Alumno 21 1,21
Alumno 2 1,28 Alumno 12 1,26 Alumno 22 1,29
Alumno 3 1,27 Alumno 13 1,30 Alumno 23 1,26
Alumno 4 1,21 Alumno 14 1,21 Alumno 24 1,22
Alumno 5 1,22 Alumno 15 1,28 Alumno 25 1,28
Alumno 6 1,29 Alumno 16 1,30 Alumno 26 1,27
Alumno 7 1,30 Alumno 17 1,22 Alumno 27 1,26
Alumno 8 1,24 Alumno 18 1,25 Alumno 28 1,23
Alumno 9 1,27 Alumno 19 1,20 Alumno 29 1,22
Alumno 10 1,29 Alumno 20 1,28 Alumno 30 1,21
A partir de estos datos, se puede obtener la siguiente tabla de frecuencias:
Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas
(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada
1,20 1 1 3,3% 3,3%
1,21 4 5 13,3% 16,6%
1,22 4 9 13,3% 30,0%
1,23 2 11 6,6% 36,6%
1,24 1 12 3,3% 40,0%
1,25 2 14 6,6% 46,6%
1,26 3 17 10,0% 56,6%
1,27 3 20 10,0% 66,6%
1,28 4 24 13,3% 80,0%
1,29 3 27 10,0% 90,0%
1,30 3 30 (total) 10,0% 100,0%
Las frecuencias simples se obtienen contando cuántos niños tienen determinado valor (por ejemplo hay 1 niño que mide 1,20m y 4 que miden 1,22 m.).
Las frecuencias relativas simples consideran cada valor en relación con el total: por ejemplo para el valor 1,20, hay 1 solo niño (de un total de 30) que posee esa altura, entonces la frecuencia (en %) es: 1/30*100= 3,3%
Si los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno de ellos se repite muy pocas veces, entonces es conveniente agruparlos por intervalos, como muestra el histograma (ver más adelante), ya que de otra manera se obtendría una tabla de frecuencia muy extensa.
Una vez obtenida una tabla de frecuencias, se puede representar mediante un gráfico. En estadística se denominan gráficos a aquellas imágenes que, combinando la utilización de colores, puntos, líneas, símbolos, números, texto y un sistema de referencia (coordenadas), permiten presentar información cuantitativa. La utilidad de los gráficos es doble, ya que pueden servir no sólo como sustituto a las tablas, sino que también constituyen por sí mismos una poderosa herramienta para el análisis de los datos, siendo en ocasiones el medio más efectivo no sólo para describir y resumir la información, sino también para visualizarla y analizarla.
IMAGENES DE EJEMPLO:
Cuando se toman datos de una muestra, éstos son inicialmente compilados en bases de datos (tablas de frecuencias), para luego ser presentados en forma gráfica. Esto ayuda a visualizar e interpretar la variación de los datos.
La distribución de frecuencia es la representación estructurada, en forma de tabla, de la información que se ha recogido sobre la variable en estudio, como se muestra en la siguiente tabla, en donde X son los distintos valores que puede tomar la variable, n es el número de veces que se repite cada valor, y f es el porcentaje (en relación con el total) en el que se repite dicho valor.
Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas
(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada
X1 n1 n1 f1 = n1 / n f1
X2 n2 n1 + n2 f2 = n2 / n f1 + f2
... ... .. . ... ...
Xn-1 nn-1 n1 + n2 +..+ nn-1 fn-1 = nn-1 / n f1 + f2 +..+fn-1
Xn nn ∑ n fn = nn / n ∑ f
Por ejemplo, al medir la altura de los niños de una clase, se obtienen los siguientes resultados (en metros)
Alumno Estatura Alumno Estatura Alumno Estatura
Alumno 1 1,25 Alumno 11 1,23 Alumno 21 1,21
Alumno 2 1,28 Alumno 12 1,26 Alumno 22 1,29
Alumno 3 1,27 Alumno 13 1,30 Alumno 23 1,26
Alumno 4 1,21 Alumno 14 1,21 Alumno 24 1,22
Alumno 5 1,22 Alumno 15 1,28 Alumno 25 1,28
Alumno 6 1,29 Alumno 16 1,30 Alumno 26 1,27
Alumno 7 1,30 Alumno 17 1,22 Alumno 27 1,26
Alumno 8 1,24 Alumno 18 1,25 Alumno 28 1,23
Alumno 9 1,27 Alumno 19 1,20 Alumno 29 1,22
Alumno 10 1,29 Alumno 20 1,28 Alumno 30 1,21
A partir de estos datos, se puede obtener la siguiente tabla de frecuencias:
Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas
(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada
1,20 1 1 3,3% 3,3%
1,21 4 5 13,3% 16,6%
1,22 4 9 13,3% 30,0%
1,23 2 11 6,6% 36,6%
1,24 1 12 3,3% 40,0%
1,25 2 14 6,6% 46,6%
1,26 3 17 10,0% 56,6%
1,27 3 20 10,0% 66,6%
1,28 4 24 13,3% 80,0%
1,29 3 27 10,0% 90,0%
1,30 3 30 (total) 10,0% 100,0%
Las frecuencias simples se obtienen contando cuántos niños tienen determinado valor (por ejemplo hay 1 niño que mide 1,20m y 4 que miden 1,22 m.).
Las frecuencias relativas simples consideran cada valor en relación con el total: por ejemplo para el valor 1,20, hay 1 solo niño (de un total de 30) que posee esa altura, entonces la frecuencia (en %) es: 1/30*100= 3,3%
Si los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno de ellos se repite muy pocas veces, entonces es conveniente agruparlos por intervalos, como muestra el histograma (ver más adelante), ya que de otra manera se obtendría una tabla de frecuencia muy extensa.
Una vez obtenida una tabla de frecuencias, se puede representar mediante un gráfico. En estadística se denominan gráficos a aquellas imágenes que, combinando la utilización de colores, puntos, líneas, símbolos, números, texto y un sistema de referencia (coordenadas), permiten presentar información cuantitativa. La utilidad de los gráficos es doble, ya que pueden servir no sólo como sustituto a las tablas, sino que también constituyen por sí mismos una poderosa herramienta para el análisis de los datos, siendo en ocasiones el medio más efectivo no sólo para describir y resumir la información, sino también para visualizarla y analizarla.
IMAGENES DE EJEMPLO:
Variables cualitativas: Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser ordinales y nominales. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir:
Variable cualitativa ordinal: La variable puede tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo, leve, moderado, grave
Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden como por ejemplo los colores o el lugar de residencia.
Variables cuantitativas: Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables cuantitativas además pueden ser:
Variable discreta: Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5).
Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo el peso (2.3 kg, 2.4 kg, 2.5 kg...) o la altura (1.64 m, 1.65 m, 1.66 m...), que solamente está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que siempre exista un valor entre dos cualesquiera.
Variable cualitativa ordinal: La variable puede tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo, leve, moderado, grave
Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden como por ejemplo los colores o el lugar de residencia.
Variables cuantitativas: Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables cuantitativas además pueden ser:
Variable discreta: Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5).
Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo el peso (2.3 kg, 2.4 kg, 2.5 kg...) o la altura (1.64 m, 1.65 m, 1.66 m...), que solamente está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que siempre exista un valor entre dos cualesquiera.
